フールマン円

ユークリッド幾何学において、フールマン円（ふーるまんえん、英語: Fuhrmann circle）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 ${\displaystyle N}$と垂心 ${\displaystyle H}$ を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 ${\displaystyle R_{F}}$ は

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A \cos B \cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}}$$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である。

一般化

△ABCについて、その辺上にない点Pの擬調和三角形を△A'B'C' とする。また、A',B',C'をそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をP_a,P_b,P_cとする。△P_aP_bP_c（Pフールマン三角形）の外接円をPのヘギー円（P-Hagge circle）またはPのフールマン円（P-Fuhrmann circle）と言う。名称はカール・ヘギーに由来する。Pが内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす。

• ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem）。
• Pの等角共役点P*とPのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
• ヘギー円の半径はP*と外心の距離に等しい。
• 垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、P*は共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している。

2020年、Vu Thanh Tungはさらなる一般化を示した。

点P,Uに対して、AU,BCの交点をA₀、円PBCと直線APのPでない方の交点をA₁、直線A₀A₁と円PBCのA₁でない方の交点をA₂とする。同様にB₂,C₂も定義したとき、P,A₂,B₂,C₂は共円である。この円をVu Circleという。Pを垂心とすれば、ヘギー円となる。

注釈

参考文献

• J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

外部リンク

• Doug Westmoreland. “Fuhrmann circle”. the University of Georgia. 2024年3月21日閲覧。
• Weisstein, Eric W. "Fuhrmann Circle". mathworld.wolfram.com (英語).